Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8
Имеется наборов по карточек. На каждой карточке написано натуральное число, причём в каждом наборе все числа, написанные на карточках, различны. Оказалось, что какие бы два набора ни взять, на карточках этих наборов будет написано ровно различных натуральных чисел. Какое наименьшее количество различных натуральных чисел может быть написано на всех карточках этих наборов?
Ответ
Ответ. .
Решение. Заметим сначала, что по условию в любых двух наборах будет ровно одно общее число. Докажем, что при данных условиях у всех наборов есть ровно одно общее число. Пусть это не так. Выберем какой-нибудь набор . В этом наборе найдётся карточка с числом , которое написано на карточках ещё по крайней мере в наборах (иначе всего наборов будет не больше ). Обозначим эти наборы . По предположению, есть набор, на карточках которого не написано число . Этот набор должен иметь общие числа с наборами , при этом все эти числа должны быть различны. Но тогда в этом наборе по крайней мере карточка. Получили противоречие. Значит, у всех наборов есть ровно одно общее число. Тогда общее количество различных натуральных чисел есть