Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 2
Найдите количество десятибуквенных «слов», составленных из букв А, Б, В (под «словом» понимается любая последовательность подряд идущих букв), таких, что в них есть не более трёх букв Б.
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть нужно посчитать количество «слов» из букв. Если букв Б нет, то на каждую позицию можно выбрать одну из двух букв — получаем слов. Если буква Б одна, то сначала есть способов её разместить, после чего на оставшиеся позиции есть по два варианта — выходит слов. Если две буквы Б, то есть способа их разместить, а затем способов выбрать остальные буквы — т. е. слов. Аналогично для трёх букв Б получаем слов. В итоге есть
слов. Если , то это число равно .
Замечание. Если считать, что каждая из букв А, Б, В должна встретиться в «слове» хотя бы один раз, то получим случаев с одной буквой Б: способов выбора места для буквы Б; способов выбора букв на оставшиеся места, из которых не подходят ровно два (все буквы А или все буквы В); случаев с двумя буквами Б; случаев с тремя буквами Б. В сумме выходит
способов.