ВсОШ 2025, 9 класс, задача 8
( баллов) Лёня мечтает в будущем полететь на Марс и основать там свою страну. Пока он хочет придумать флаг этой страны. Он собирает различные варианты флага размером из плиток серого, бурого и малинового цветов, причём плитки каждого из цветов должны присутствовать.
(а) Лёня решил, что плитки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Кроме того, плитки серого и бурого цвета в объединении тоже должны образовывать прямоугольник, а также плитки бурого и малинового цвета в объединении должны образовывать прямоугольник. Сколько вариантов флага придётся рассмотреть Лёня?
(б) Лёне не понравился ни один вариант флага из пункта (а), и он решил отказаться от условий про объединения цветов. Осталось лишь требование, что клетки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Сколько новых вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
Ответ
Ответ:
а)
б) .
Решение. Поскольку цветов всего , то какие-то две из угловых плиток квадрата будут покрашены в одинаковые цвета. Поскольку плитки этого цвета образуют прямоугольник, то одна из его сторон совпадает со стороной квадрата . Значит, противоположная ей сторона должна быть параллельна этой стороне квадрата, и равна . Это означает, что весь квадрат разбивается на два прямоугольника: с плитками этого цвета, и с плитками двух других цветов.
Теперь если рассмотреть оставшийся прямоугольник, то с ним можно проделать аналогичное рассуждение. Тогда получается, что разделение на цвета происходит следующим образом. Сначала проводится один разрез по линиям сетки, и одна из полученных частей целиком становится какого-то цвета. Далее вторая часть разрезается на две части второго и третьего цвета.
(а) Можно понять, что в этом пункте во-первых, второй разрез должен быть параллелен первому, а во-вторых, посередине всегда должен быть бурый цвет. Посчитаем количество способов это сделать. Нужно выбрать одно из двух направлений разрезов (горизонтальное или вертикальное), затем выбрать два места из семи возможных, а потом ещё один из двух порядков цветов (серый бурый малиновый или малиновый бурый серый). Получаем всего варианта.
(б) В этом пункте разрезы могут быть либо параллельны, либо перпендикулярны. Если разрезы параллельны, то получаем почти то же самое, что и в прошлом пункте, но для других порядков цветов (серый малиновый бурый, малиновый серый бурый, бурый малиновый серый, бурый серый малиновый). Значит, тут вариантов .
Если разрезы перпендикулярны, то у нас есть варианта, какой цвет занимает угла; вариантов выбрать место для горизонтального и вертикального разреза; вариантов порядка цветов. Итого получаем вариантов.
Суммируя, получаем варианта.
Верное решение.