1. Олимпиады
  2. ВСОШ

Муниципальный (7–11 классы)

11 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 1

(4 баллов) В прямоугольном параллелепипеде V все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из вершин параллелепипеда V и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна 240 см2, а наименьшая — 24 см2. Обозначим x
Средняя
Стереометрия

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 2

(4 баллов) Положительные действительные числа x, y удовлетворяют равенствам y=3√(x) и xy=yx. Чему может быть равно xy? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 3

(4 баллов) Три окружности радиусов a, b, c касаются как на рисунке, а их центры Q, R, S вместе с точкой T являются вершинами прямоугольника, причём точка T лежит на окружности с центром S. Найдите площадь прямоугольника QRST, если b=5. Три касающиеся окружности
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 4

(4 баллов) В классе учится три человека, увлекающихся рисованием, четыре человека, увлекающихся шахматами, и пять человек, увлекающихся танцами (каждый ученик увлекается ровно одним занятием). Учитель хочет разбить всех детей по парам так, чтобы увлечения участников любой пары были различны. Скольки
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 5

(4 баллов) (а) Назовём натуральное число m привлекательным, если равенство lfloor(2024/n) rfloor=m не выполняется ни для какого натурального n. Напомним, что lfloor xrfloor обозначает целую часть числа x. Найдите наименьшее привлекательное число. (б) Найдите количество привлекательных чисел, не прев
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 6

(4 баллов) Назовём натуральное число n увлекательным, если в клетках квадратной таблицы n × n можно расставить числа от 1 до n2 так, чтобы сумма чисел в клетках любого квадратика 2 × 2 делилась на 4. (а) Приведите пример числа n, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенст
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 7

(4 баллов) Обозначим α положительный корень квадратного трёхчлена x2+x-5. Многочлен P(x) имеет целые неотрицательные коэффициенты, и P(α)=49. (а) Найдите наименьший возможный свободный член многочлена P. (б) Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена P.
Очень сложная
Алгебра

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 8

(4 баллов) Дан тетраэдр ABCD. Известно, что AD=BC=10, AC=BD=11, AB=9 и CD=13. Борис выбирает точку X внутри тетраэдра и считает сумму AX+BX+CX+DX. Какое наименьшее значение он может получить?
Очень сложная
Стереометрия

10 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 1

(4 баллов) Действительные числа a1, a2, ldots, a90 образуют арифметическую прогрессию. Чему равно a2+a5+a8+ldots+a89, если a1+a2+a3+ldots+a90=3000?
Простая
Алгебра

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия: В его десятичной записи все цифры ненулевые; Сумма его цифр равна 32; Любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр. Найдите наименьшее хорошее число.
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке. Два наложенных прямоугольника (а) Найдите вторую сторону прямоугольника. (б) Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 4

(4 баллов) Приведённые квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) таковы, что каждое из чисел 0, 4, 6, 8, 9, 12 является корнем одного из трёхчленов P(x), Q(x), P(x)+Q(x). Чему равно P(0)+Q(0)? Напомним, что квадратный трёхчлен ax2+bx+c называется приведённым, если a=1.
Сложная
Алгебра

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 5

(4 баллов) На городском проспекте через равные расстояния расположены 11 зданий: склады с напитками, курьерская компания, и 5 офисов. Расстояние между каждыми соседними зданиями равно 1 км. Расположение складов, курьерской компании и офисов Вчера утром поступило пять одинаковых заказов из офисов. В
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 6

(4 баллов) Дан четырёхугольник ABCD, причём AD=BC, angle DAC=97circ, angle CBD=83circ и angle BCD=65circ. Найдите angle ACD (ответ дайте в градусах).
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 7

(4 баллов) Школьный актовый зал представляет из себя квадрат 11 × 11. На вечернем мероприятии все места были заняты. Каждый из присутствующих сказал: «В моём горизонтальном ряду сидит больше девочек, чем в моём вертикальном ряду». Оказалось, что 60 детей сказало правду, а 61 — неправду. Какое наибол
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 8

(4 баллов) Функция f(x) определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального n выполнено f(n+1)>f(n) и f(f(n))=3n. (а) Найдите f(10). (б) Найдите f(2024).
Очень сложная
Алгебра

9 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 1

(4 баллов) Про положительные числа a и b известно, что a2+ab=36 и b2+ab=64. Найдите значение a+b.
Простая
Алгебра

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 2

(2 баллов) Катя написала на доске натуральное число. За один ход она может взять две подряд идущие цифры этого числа, произведение которых является двузначным числом, и заменить их на это произведение. Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за один ход из него 1158 ил
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 3

(2 баллов) Катя написала на доске натуральное число. За один ход она может взять две подряд идущие цифры этого числа, произведение которых является двузначным числом, и заменить их на это произведение. Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за один ход из него 1158 ил
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 4

(4 баллов) Петя и Вася плавают в бассейне размера 10,м × 17,м. Известно, что кратчайшее расстояние от Пети до края бассейна равно 2 метра, а кратчайшее расстояние от Васи до края — 3 метра. Какое максимальное расстояние может быть между Петей и Васей?
Простая
Планиметрия

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 5

(4 баллов) В футбольном турнире участвовало десять команд, каждая сыграла с каждой один раз. Команды, занявшие первое и второе место, в сумме набрали всего лишь на пять очков меньше, чем все остальные команды вместе. Сколько очков набрала команда с минимальным количество очков? За победу в футбольно
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 6

(4 баллов) Простое число p таково, что числа 15p-15 и 16p-15 являются точными квадратами. Чему может быть равно p? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 7

(4 баллов) Петя выписал на доску выражение 1+2+ldots+1000. Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число 547 превратилось в 5 · 4 · 7. Чему равно значение полученного выражения?
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 8

(4 баллов) Лёня мечтает в будущем полететь на Марс и основать там свою страну. Пока он хочет придумать флаг этой страны. Он собирает различные варианты флага размером 8 × 8 из плиток 1 × 1 серого, бурого и малинового цветов, причём плитки каждого из цветов должны присутствовать. (а) Лёня решил, что
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 9

(4 баллов) В остроугольном треугольнике ABC провели высоты BB1 и CC1. Точки M и N являются серединами сторон AC и AB соответственно. Прямая C1M повторно пересекает описанную окружность треугольника BCC1 в точке X. Точка O является центром описанной окружно
Сложная
Планиметрия

8 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 1

(4 баллов) Найдите наибольшее натуральное число n, при котором (7!)! делится на n!. Здесь k! означает произведение 1 · 2 · 3 · ldots · k.
Простая
Теория чисел

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 2

(4 баллов) Саша и Маша пришли в магазин. Саша купил 3 пакета молока, 7 пачек творога и 5 йогуртов. Маша купила 2 пакета молока, 10 пачек творога и 6 йогуртов. Саша потратил на всё 980 рублей, а Маша потратила 1160 рублей. Сколько суммарно стоит один пакет молока, одна пачка творога и один йогурт?
Простая
Алгебра

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 3

(4 баллов) Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC отметили точку O. Оказалось, что AO=BO=CO=BC и DA=DO=DC. Сколько градусов составляет угол BAO?
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 4

(4 баллов) В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 5

(2 баллов) У Пети есть три палочки, длины которых равны a см, b см и c см. Известно, что числа a, b и c натуральные, различные, и ac=b2. Петя смог сложить из своих палочек треугольник. (а) Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 6

(2 баллов) У Пети есть три палочки, длины которых равны a см, b см и c см. Известно, что числа a, b и c натуральные, различные, и ac=b2. Петя смог сложить из своих палочек треугольник. (б) Пусть b=72. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 7

(4 баллов) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. На гипотенузе AB отметили точки X и Y, такие что CX и CY — биссектрисы углов BCH и HCA соответственно. Найдите, чему равна длина стороны AB, если известно, что периметр треугольника ABC равен 44, а длина отрезка XY равна
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 8

(4 баллов) Найдите сумму цифр числа 3 · underbrace{33ldots3}1003+2 · underbrace{11ldots1}1002+underbrace{55ldots5}1002+underbrace{33ldots3}100.
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 9

(4 баллов) Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит. Возможные ходы гуся Несколько гусей
Очень сложная
Комбинаторика

7 класс

Основной вариант

PDF
Задания
PDF
Решения

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 1

(4 баллов) Бегемотики Ася и Вася изначально весили одинаково. За год вес Аси увеличился в 3,5 раза, в следующий год — ещё в 2,5 раза, а в третий — ещё в 1,5 раза. При этом вес Васи в первый год увеличился в 4,5 раза, во второй — ещё в 3,5 раза, а в третий — ещё в 2,5 раза. Во сколько раз теперь Вася
Простая
Алгебра

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 2

(4 баллов) Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 3

(4 баллов) На прямой в некотором порядке расположены пять различных точек A, B, C, D и E. Известно, что AB=4, BC=7, CD=11, DE=16. Чему равно наименьшее возможное расстояние между A и E?
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 4

(4 баллов) Малыш и Карлсон решили пробежать три круга по стадиону. Малыш бежал всю дистанцию с постоянной скоростью 4 км/ч. Карлсон бежал каждый круг с постоянной скоростью. Первый круг он бежал с той же скоростью, что и Малыш. Затем он подкрепился вареньем и пробежал второй круг в шесть раз быстрее
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 5

(4 баллов) Маша, Даша и Саша загадали по числу от 1 до 9, а затем сообщили эти числа друг другу. Оказалось, что все загаданные ребятами числа различны. После этого каждый из них произнёс по утверждению: Маша: «Сумма загаданных чисел делится на 4» Даша: «Если бы я могла загадывать числа больше 9, я б
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 6

(1 баллов) У Егора есть таблица 5 × 5. Назовём крестом какой-то клетки все 9 клеток из объединения её строки и столбца. Егор выбрал несколько клеток в этой таблице. После чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько выбранных им клеток содержится в кресте этой клетки. В результате получилась так
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 7

(3 баллов) У Егора есть таблица 5 × 5. Назовём крестом какой-то клетки все 9 клеток из объединения её строки и столбца. Егор выбрал несколько клеток в этой таблице. После чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько выбранных им клеток содержится в кресте этой клетки. В результате получилась так
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 8

(4 баллов) В лесу 40% деревьев — хвойные, при этом ели составляют 34% от числа хвойных деревьев. (а) Какое наименьшее число деревьев может расти в таком лесу? (б) На Новый год в лесу срубили несколько хвойных деревьев, и доля елей среди хвойных деревьев снизилась до 33%. А какое наименьшее число дер
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 9

(4 баллов) Какое наименьшее количество прямоугольников 3 × 4 и 1 × 7 нужно использовать, чтобы сложить из них квадрат? При складывании нужно использовать хотя бы один прямоугольник каждого типа.
Сложная
Комбинаторика