ВсОШ 2025, 9 класс, задача 5
( баллов) В футбольном турнире участвовало десять команд, каждая сыграла с каждой один раз. Команды, занявшие первое и второе место, в сумме набрали всего лишь на пять очков меньше, чем все остальные команды вместе. Сколько очков набрала команда с минимальным количество очков? За победу в футбольном турнире дают очка, за ничью — , за поражение — .
Ответ
Ответ: .
Решение. Посчитаем, какое максимальное количество очков суммарно могли набрать первые две команды. Эти команды сыграли матчей с другими командами и матч между собой. За каждый матч набирается не более очков, поэтому суммарно первые две команды могли набрать не более очка.
Теперь посчитаем, какое минимальное количество очков суммарно могли набрать последние восемь команд. Между собой они сыграли матчей. В каждом матче суммарно набирается не менее очков, поэтому последние команд суммарно набрали не менее очков.
Таким образом, ситуация из условия задачи возможна лишь в том случае, когда первые две команды суммарно набрали в точности очко, а последние восемь — очков. Значит, первые две команды выиграли у каждой из оставшихся, а оставшиеся команды во всех матчах между собой сыграли вничью. Тогда у всех команд с третьего по десятое место ровно по очков, т.е. команда, набравшая минимальное количество очков, набрала очков.
Верное решение.