ВсОШ 2025, 8 класс, задача 4
( баллов) В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и лентяев. Каждый день на работу приходило по человек, причём в конце рабочего дня из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда лгали. Через дней оказалось, что каждый из лентяев сходил на работу ровно раз.
(а) Найдите наибольшее возможное значение .
(б) Найдите наименьшее возможное значение .
Ответ
Ответ: а) .
б) .
Решение. Назовём утверждение «Сегодня на работу пришло ровно лентяев» утверждением .
Заметим, что труженик и лентяй не могли сделать утверждение в один и тот же день, так как иначе это утверждение было бы одновременно ложью и правдой. Поэтому, возможны два варианта:
- на работу вышло лентяев и тружеников, и какие-то тружеников из сделали утверждение ;
- на работу вышло лентяев и тружеников, и какие-то лентяев из сделали утверждение .
(а) Заметим, что каждый день на работу выходило хотя бы лентяев. Поэтому (иначе нашёлся бы лентяй, сходивший на работу более одного раза, так как ). Покажем, что возможно. Это могло быть, например, если в первые дней на работу приходило по лентяев, а в пятнадцатый день пришло лентяев.
(б) Заметим, что каждый день на работу выходило не больше лентяев. Поэтому (иначе нашёлся бы лентяй, не ходивший на работу, так как ). Покажем, что возможно. Это могло быть, например, если в первые три дня на работу приходило по лентяев, а в следующие четыре дня — по лентяев.
Верное решение.