ВсОШ 2025, 10 класс, задача 5
( баллов) На городском проспекте через равные расстояния расположены зданий: склады с напитками, курьерская компания, и офисов. Расстояние между каждыми соседними зданиями равно км.
Вчера утром поступило пять одинаковых заказов из офисов. В каждый офис нужно было привезти пять ящиков бутылок: с молоком, с кефиром, с квасом, с соком и с минеральной водой. Автомобиль курьера Василия может одновременно везти только один ящик. Вчера он выехал из здания курьерской компании и развозил напитки в офисы, пока не выполнил все заказы, а затем вернулся в точку старта.
(а) За доставку каждого ящика Василий получает рублей. Сколько рублей Василий заработал за вчерашний день?
(б) На каждый километр пути автомобиль Василия тратит бензина на рублей. Какую минимальную сумму Василий мог потратить на бензин за вчерашний день?
Ответ
Ответ: а)
б) .
Решение. (а) Василию нужно доставить каждый из пяти ящиков в каждый из пяти офисов. Значит, он должен выполнить заказов. Тогда он заработает за них рублей.
(б) Понятно, что для минимизации трат бензина Василий должен доезжать до склада, затем сразу разворачиваться и ехать в офис, затем сразу разворачиваться и ехать на склад и т.д. При этом неважно, в каком порядке он будет развозить заказы.
Для каждого единичного отрезка посчитаем, сколько раз курьер его проедет. Отрезок между курьерской компанией и офисом будет пересечён раз, поскольку курьер проедет его дважды при каждом заказе. Отрезок между офисом и офисом курьер проедет раз, поскольку он проедет его на всех заказах кроме заказов из офиса . Аналогично, отрезок между офисами и курьер проедет раз, между офисами и — раз, между офисами и — раз. С другой стороны будет всё то же самое из соображений симметрии.
Таким образом, суммарно курьер проедет километров. Значит, на бензин он потратит рублей.
Верное решение.