ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2
( баллов) В четырёх классах школы учится более детей, все они пришли на собрание параллели (других детей на собрании не было).
Каждую пришедшую девочку спросили: «Сколько пришло человек из твоего класса, включая тебя?»
Каждого пришедшего мальчика спросили: «Сколько пришло мальчиков из твоего класса, включая тебя?»
Среди ответов встретились числа , , , , , , и (все дети ответили верно).
(а) ( балл) Сколько детей учится в самом большом классе параллели?
(б) ( балла) Сколько девочек пришло на собрание параллели?
Ответ
Ответ:
(а) ( балл) ученик.
(б) ( балла) девочки.
Решение. (а) Поскольку все перечисленных в условии чисел различны, ровно из них означают численность детей в классах, а другие — численность мальчиков в классах. Число , самое большое из перечисленных, не может быть численностью мальчиков какого-то класса (иначе нет числа, соответствующего количеству учеников этого класса). Поэтому в самом большом классе учится ребёнок.
(б) Получается, что количество учеников во втором по размеру классе не превосходит , в третьем по размеру не превосходит , в четвёртом не превосходит . Тогда общее количество учеников не превосходит , а по условию задачи на собрание параллели пришло более учеников. Отсюда следует, что численности классов — в точности , , , , а общее количество учеников в них — .
Тогда общее количество мальчиков в классах равно , а общее количество девочек равно .
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).