ВсОШ 2023, 7 класс, задача 4
( баллов) Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая из цифр , , , , , , встречается ровно один раз.
(а) ( балл) У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
(б) ( балла) У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?
Ответ
Ответ: (а) ; (б) .
Решение. (а) Из условия следует, что шестая цифра — самая большая, поэтому она равна . В качестве последней цифры можно выбрать любую цифру от до , и это однозначно определит всё число (ведь первые пять цифр должны быть упорядочены по возрастанию). Значит, таких семизначных чисел ровно .
(б) Из условия следует, что пятая цифра — самая большая, поэтому она равна . В качестве двух последних цифр можно выбрать две различные цифры от до , и это однозначно определит всё число (ведь первые четыре цифры должны быть упорядочены по возрастанию). Также шестая цифра должна быть больше седьмой, поэтому возможных пар последних цифр ровно :
Соответственно, искомых семизначных чисел тоже .
Замечание. Количество пар в пункте (б) равно количеству способов выбрать две цифры из множества из цифр, то есть .
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).