1. Олимпиады
  2. ВСОШ

Муниципальный (7–11 классы)

11 класс

Основной вариант

PDF
Задания и решения

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 1

(4 баллов) В корзине лежит 41 яблоко: 10 зелёных, 13 жёлтых и 18 красных. Алёна последовательно достаёт из корзины по одному яблоку. Если в какой-то момент она суммарно вытащит зелёных яблок меньше, чем жёлтых, а жёлтых — меньше, чем красных, то больше яблок из корзины она доставать не будет. (а) (1
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 2

(4 баллов) В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и кокосы, фруктов всех трёх видов было поровну. Первую обезьяну кормили только апельсинами и бананами, причём бананов было на 40% больше, чем апельсинов. Вторую кормили только бананами и кокосами, причём кокосов было на 25% б
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 3

(4 баллов) Многочлен G(x) с действительными коэффициентами принимает значение 2022 ровно в пяти различных точках x12345. Известно, что график функции y=G(x) симметричен относительно прямой x=-8. (а) (2 балла) Найдите x1+x3+x5. (б) (
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 4

(4 баллов) На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом 18, попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом 6, касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.)
Сложная
Стереометрия

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 5

(4 баллов) Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра. Изначально на доске написано число n. Игрок в свой ход может прибавить к числу на доске любой его натуральный делитель, стереть старое число и записать новое. (Например, если на доске написано число 12, то можно е
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 6

(4 баллов) Точка M — середина основания BC трапеции ABCD. На основании AD выбрана точка P. Луч PM пересекает луч DC в точке Q. Перпендикуляр к основанию AD, проведённый через точку P, пересекает отрезок BQ в точке K. Известно, что angle KQD=64circ и angle KDQ=38circ. Сколько гр
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 7

(4 баллов) Пусть N — наименьшее общее кратное десяти различных натуральных чисел a12310. (а) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать N/a3? (б) (2 балла) Укажите все возможные значения a3 на отрезке [1;1000], для которых величина N/a
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 8

(4 баллов) Действительные числа a, b, c таковы, что (а) (1 балл) Какое наименьшее значение может принимать выражение c2+ca+a2? (б) (3 балла) Какое наибольшее значение может принимать выражение c2+ca+a2?
Очень сложная
Алгебра

10 класс

Основной вариант

PDF
Задания и решения

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 1

(4 баллов) (а) (2 балла) Натуральное число n меньше 120. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на n? (б) (2 балла) Натуральное число n меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на n?
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Действительное число a таково, что из двух уравнений 5+|x-2|=a и 7-|2x+6|=a одно имеет ровно один корень, а другое — ровно два корня. Чему может быть равно a? Укажите все возможные варианты.
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 3

(4 баллов) На доске написаны натуральные числа a, b, c, d. Известно, что среди шести сумм a+b, b+c, c+d, d+a, a+c, b+d три равны 23, а три других равны 34. (а) (1 балл) Чему равно a+b+c+d? (б) (3 балла) Чему равно наименьшее из чисел a, b, c, d?
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 4

(4 баллов) Дан параллелограмм ABCD, точка M — середина стороны BC. На стороне AD нашлась точка K такая, что BK=BM и четырёхугольник KBMD является вписанным. (а) (2 балла) Чему равна длина отрезка MD, если AD=17? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол KMD, если angle BAD=46circ? Ри
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 5

(4 баллов) Однажды зимой 43 ребёнка бросались снежками. Каждый из них бросил ровно один снежок в кого-то другого. Известно, что: первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго, второй бросил снежок в того, кто бросил снежок в третьего, ldots сорок третий бросил снежок в того, кто бросил с
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 6

(4 баллов) Пару натуральных чисел (a,p) назовём хорошей, если число a3+p3 делится на a2-p2, причём a>p. (а) (1 балл) Укажите любое возможное значение a, для которого пара (a,13) — хорошая. (б) (3 балла) Найдите количество хороших пар, для которых p — прост
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 7

(4 баллов) Карлсон за один приём пищи может съесть не более 5 кг варенья. Если он открывает новую банку варенья, то он обязан съесть её полностью за этот приём пищи. (Карлсон не будет открывать новую банку, если ему придётся съесть более 5 кг варенья вместе с только что съеденным.) У Малыша есть нес
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 8

(4 баллов) Дан треугольник ABC. Пусть точка I — центр его вписанной окружности, а точки P и Q — середины сторон AB и AC соответственно. Оказалось, что angle PIQ+angle BIC=180circ. Найдите длину отрезка BC, если AB=20 и AC=14. Рисунок к задаче 10.8
Сложная
Планиметрия

9 класс

Основной вариант

PDF
Задания и решения

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1

(4 баллов) Ученики 9 «А», 9 «Б», 9 «В» собрались на линейку. Марья Ивановна решила посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что на линейке было 27 учеников из 9 «А», 29 учеников из 9 «Б» и 30 учеников из 9 «В». А Илья Григорьевич решил посчитать сразу общее количество
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 2

(4 баллов) На сторонах AB и AD прямоугольника ABCD отмечены точки M и N соответственно. Известно, что AN=7, NC=39, AM=12, MB=3. (а) (1 балл) Найдите площадь прямоугольника ABCD. (б) (3 балла) Найдите площадь треугольника MNC. Рисунок к задаче 9.2
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 3

(4 баллов) Натуральные числа a и b таковы, что a делится на b+1 и 43 делится на a+b. (а) (1 балл) Укажите любое возможное значение a. (б) (3 балла) Чему может быть равно b? Укажите все возможные варианты.
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 4

(4 баллов) На доске нарисована пустая таблица 3 × 51. Маша хочет заполнить её клетки числами, руководствуясь следующими правилами: каждое из чисел 1, 2, 3, ldots, 153 должно присутствовать в таблице; в левой нижней клетке таблицы должно стоять число 1; для любого натурального a≤152 числа a и a+1 дол
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Стороны AD и DC вписанного четырёхугольника ABCD равны. На стороне BC отмечена точка X так, что AB=BX. Известно, что angle B=34circ, angle XDC=52circ. (а) (1 балл) Сколько градусов составляет угол AXC? (б) (3 балла) Сколько градусов составляет угол ACB? Рисунок к зад
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 6

(4 баллов) График прямой y=kx+l пересекает ось Ox в точке B, ось Oy — в точке C, график функции y=1/x — в точках A и D, как изображено на рисунке. Оказалось, что AB=BC=CD. Найдите k, если известно, что OC=3. Рисунок к задаче 9.6
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 7

(4 баллов) Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке 11 конфет, во второй — 22 конфеты, в третьей — 33 конфеты, в четвёртой — 44 конфеты, в пятой — 55 конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре конфеты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четы
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 8

(4 баллов) Для действительных чисел x и y определим операцию star следующим образом: xstar y=xy+4y-3x. Вычислите значение выражения ((ldots (((2022star2021)star2020)star2019)starldots)star2)star1.
Сложная
Алгебра

8 класс

Основной вариант

PDF
Задания и решения

ВсОШ 2023, 8 класс, задача 1

(4 баллов) В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 60 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике?
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 8 класс, задача 2

(4 баллов) Олег купил шоколадку за n рублей, а через некоторое время продал её за 96 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на n% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку?
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 8 класс, задача 3

(4 баллов) У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпа
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 8 класс, задача 4

(4 баллов) В клетках таблицы 2 × 35 (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количес
Сложная
Алгебра

ВсОШ 2023, 8 класс, задача 5

(4 баллов) В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов A и C параллельны, а биссектрисы углов B и D пересекаются под углом 46circ, как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов A и B? Рисунок к задаче 8.5
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2023, 8 класс, задача 6

(4 баллов) Натуральное число n таково, что значение выражения n2+492 является точным квадратом. (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение n. (б) (2 балла) Чему может быть равно n? Укажите все возможные варианты.
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 8 класс, задача 7

(4 баллов) Сколько существует способов расположить в ряд n крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) n=27; (б) (2 балла) n=26?
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 8 класс, задача 8

(4 баллов) Дан треугольник ABC, в котором angle A=42circ и ABcirc? Рисунок к задаче 8.8
Сложная
Планиметрия

7 класс

Основной вариант

PDF
Задания и решения

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 1

(4 баллов) Внутри большого квадрата находится маленький квадрат, соответственные стороны этих квадратов параллельны. Расстояния между некоторыми сторонами квадратов отмечены на рисунке. На сколько периметр большого квадрата больше, чем периметр маленького? Рисунок к задаче 7.1
Простая
Планиметрия

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 2

(4 баллов) Каждое из натуральных чисел 1, 2, 3, ldots, 377 покрашено либо в красный, либо в синий цвет (оба цвета присутствуют). Известно, что количество красных чисел равно наименьшему красному числу, а количество синих чисел равно наибольшему синему числу. Чему равно наименьшее красное число?
Простая
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 3

(4 баллов) Крош и Ёжик решили проверить, кто из них быстрее добежит по прямой дороге от домика Копатыча до домика Лосяша. Когда Крош пробежал 20 метров, Ёжик пробежал всего 16 метров. А когда Крошу оставалось 30 метров, Ёжику оставалось 60 метров. Сколько метров составляет длина дороги от домика Коп
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 4

(4 баллов) Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 встречается ровно один раз. (а) (1 балл) У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания? (б) (3 балла) У сколь
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 5

(4 баллов) В лесу живут эльфы и гномы. Однажды 60 жителей этого леса встали в ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эльфов могло быть от 0 до 60 включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от 0 до 60 включительно.) Каждый из 60 жителей сказал одну из с
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 6

(4 баллов) На плоскости отметили точки A, B, C, D, E так, что треугольники ABC и ADE равны: AB=AD, AC=AE, BC=DE. Затем с чертежа стёрли точку E и подписи точек B, C и D. Рисунок к задаче 7.6 Пусть точка E имела координаты (x;y). (а) (1 балл) Укажите любое возможное значение величины xy. (б) (3 балла
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 7

(4 баллов) На какое наибольшее количество групп можно разбить числа 1, 2, 3, ldots, 100 так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких чисел.)
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 8

(4 баллов) Клетки таблицы 50 × 50 раскрашены в n цветов так, что для любой клетки в объединении её строки и столбца встречаются клетки всех n цветов. Найдите наибольшее возможное количество клеток синего цвета, если (а) (1 балл) n=2; (б) (3 балла) n=25.
Сложная
Комбинаторика