ВсОШ 2023, 11 класс, задача 2
( баллов) В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и кокосы, фруктов всех трёх видов было поровну. Первую обезьяну кормили только апельсинами и бананами, причём бананов было на больше, чем апельсинов. Вторую кормили только бананами и кокосами, причём кокосов было на больше, чем бананов. А третью кормили только кокосами и апельсинами, причём апельсинов было в раза больше, чем кокосов. Обезьяны съели все привезённые фрукты.
Пусть первая обезьяна съела апельсинов, а третья обезьяна съела апельсинов. Найдите .
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть первая обезьяна съела апельсинов, вторая обезьяна съела кокосов, а третья обезьяна съела кокосов. Тогда первая обезьяна съела бананов; вторая обезьяна съела кокосов; третья обезьяна съела апельсинов. Поскольку всех фруктов съедено поровну, имеем
Перепишем это в виде системы:
Сгруппировав одинаковые слагаемые, получим
Домножив первое равенство на и вычтя из него второе, получим , откуда и . Подставляя это в уравнение , получаем , т. е. .
Теперь можно ответить на вопрос задачи. Первая обезьяна апельсинов съела , а третья — . Значит, искомое отношение равно .
Верное решение.