ВсОШ 2023, 11 класс, задача 3

Ответ: (а) ; (б) .

Решение. (а) Поскольку график симметричен относительно прямой , то точки, в которых он принимает одинаковое значение, должны разбиваться на пары симметричных, кроме, возможно, одной из точек, которая лежит на оси симметрии. Поэтому средняя из пяти данных точек должна лежать на оси симметрии, т. е. . Первая и пятая точки должны быть симметричны относительно прямой , поэтому . Итого .

(б) Рассмотрим вспомогательный многочлен . Очевидно, что степень совпадает со степенью . График получается параллельным переносом графика на вправо и на вниз. Тогда этот график симметричен относительно прямой , причём в пяти точках принимает значение . Ясно, что у ровно различных корней, поэтому его степень не меньше . С другой стороны, так как график симметричен относительно прямой , то функция — чётная, поэтому и степень тоже чётная. Значит, степень , как и степень , не меньше .

В качестве примера многочлена степени можно взять . Ему соответствует .