ВсОШ 2023, 10 класс, задача 3

Ответ: (а) ; (б) .

Решение. (а) Сложим все сумм , , , , , . Поскольку три из них равны , а ещё три равны , у нас получится . С другой стороны, у нас получится . Отсюда следует, что

(б) Предположим, что среди чисел , , , есть хотя бы три различных. Не нарушая общности, будем считать, что это , и , причём . Тогда , что противоречит условию задачи.

Предположим, что все числа , , , одинаковы. Тогда и все их попарные суммы тоже одинаковы, что вновь противоречит условию задачи.

Значит, среди чисел , , , есть ровно два различных. Не нарушая общности, достаточно рассмотреть три случая:

• ;
• ;
• .

Случай 1. Пусть . Тогда

Получаем систему

но она не разрешима в натуральных числах.

Случай 2. Пусть . Тогда , что противоречит условию задачи.

Случай 3. Пусть . Тогда

Получаем систему

решением которой является , . Значит, наименьшее из чисел — это .