ВсОШ 2023, 9 класс, задача 6
( баллов) График прямой пересекает ось в точке , ось — в точке , график функции — в точках и , как изображено на рисунке. Оказалось, что . Найдите , если известно, что .
Ответ
Ответ: .
Решение. Проведём через точку прямую, параллельную оси ; пусть она пересекает ось в точке (рис. ). Легко видеть, что отрезок является средней линией в треугольнике , поэтому .
Точка лежит на графике и имеет ординату , поэтому её координаты . Прямая проходит через точки и , следовательно,
Другое решение. Заметим, что , т. е. уравнение прямой имеет вид . Тогда координаты точек и являются решениями системы уравнений
Приравниванием правых частей уравнений эта система сводится к решению квадратного уравнения
Пусть — абсцисса точки . Отсюда следует, что — абсцисса точки . При этом оба этих числа являются корнями указанного квадратного уравнения. Из теоремы Виета следует, что
Это эквивалентно тому, что
Отсюда извлекаем, что , т. е. и .
Верное решение.