ВсОШ 2023, 8 класс, задача 3
( баллов) У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой .
Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась , во второй раз сумма выпавших равнялась .
Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?
Ответ
Ответ: .
Решение. Заметим, что число единственным образом представляется в виде суммы трёх простых чисел: . Это означает, что на кубиках есть числа , , , и они выпали в первый раз.
Заметим, что если чётное число представимо в виде суммы трёх простых чисел, то одно из них чётно и поэтому равно . Тогда сумма двух оставшихся равна . Заметим, что среди этих двух чисел не может быть ни числа , ни числа , ни числа , а также что они различны (ведь числа , , и — составные). Это означает, что на кубиках есть два различных простых числа с суммой , больших , и они выпали во второй раз (вместе с ).
Итак, на каждом кубике есть числа , , , а также два других простых числа с суммой . Поскольку сумма всех шести чисел равна , то шестое число, которое никогда не выпадало, равно .
Верное решение.