ВсОШ 2023, 10 класс, задача 1

Средняя
Теория чисел
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2023, 10 класс

( баллов) (а) ( балла) Натуральное число меньше . Какой наибольший остаток может давать число при делении на ?

(б) ( балла) Натуральное число меньше . Какой наибольший остаток может давать число при делении на ?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: (а) ; (б) .

Решение. Пусть , где — неполное частное, а — остаток от деления. Поскольку , имеем , откуда

(а) Из условия следует, что , т. е. . Тогда , т. е. . Значение возможно при и .

(б) Из условия следует, что , т. е. . Тогда , т. е. . Значение возможно при и .

1

Верное решение пункта (а).

2
2

Верное решение пункта (б).

2
Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 1

(4 баллов) Для натурального числа a произведение 1 · 2 · 3 · ldots · a обозначается как a!. (а) (2 балла) Найдите наименьшее натуральное число m такое, что m! делится на 23m. (б) (2 балла) Найдите наименьшее натуральное число n такое, что n! делится на 33n.
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 7 класс, задача 7

(4 баллов) На какое наибольшее количество групп можно разбить числа 1, 2, 3, ldots, 100 так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких чисел.)
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 3

(4 баллов) Назовём хорошей пару (a,b) натуральных чисел, лежащих на отрезке [100;240], если число sqrt a+sqrt b является целым. Сколько существует хороших пар?
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2024, 7 класс, задача 7

(4 баллов) Знакопеременная сумма цифр числа — это его сумма цифр, в которой у каждой следующей цифры стоит знак, противоположный знаку у предыдущей цифры. Например, у числа 123 знакопеременная сумма цифр равна 1-2+3=2; у числа 12 знакопеременная сумма цифр равна 1-2=-1; у числа 1 знакопеременная сум
Средняя
Теория чисел