ВсОШ 2023, 11 класс, задача 6
( баллов) Точка — середина основания трапеции . На основании выбрана точка . Луч пересекает луч в точке . Перпендикуляр к основанию , проведённый через точку , пересекает отрезок в точке .
Известно, что и . Сколько градусов составляет угол ?
Ответ
Ответ: .
Решение. Из условия следует, что .
Пусть прямые и пересекаются в точке (рис. ). Треугольники и подобны с коэффициентом , и с тем же коэффициентом подобны треугольники и . Тогда из равенства следует, что . Значит, точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , поэтому .
Поскольку , получаем, что .
Замечание. Также равенство можно было установить с помощью гомотетии с центром , переводящей треугольник в треугольник .
14
Верное решение.
Максимум: 4