ВсОШ 2023, 8 класс, задача 8

Сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2023, 8 класс

( баллов) Дан треугольник , в котором и . Точка на стороне такова, что . Точки и — середины отрезков и соответственно. Сколько градусов составляет угол , если известно, что ?

Рисунок к задаче 8.8

Ответ

Ответ: .

Рисунок к задаче 8.8

Решение. Отметим на продолжении стороны за точку точку такую, что (рис. ).

Заметим, что прямая параллельна прямой как средняя линия в треугольнике . Получаем, что .

В равнобедренном треугольнике внешний угол при вершине равен , поэтому углы при основании равны .

Из суммы углов треугольника находим искомый угол:

Верное решение.

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 8

(4 баллов) На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD отмечена точка T так, что AD=BT. Оказалось, что AB=BC=CT, angle ABT=angle CAD, angle ABC=132^circ. Сколько градусов составляет угол BCD? Рисунок к задаче 8.8

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 6

(4 баллов) Точка M — середина основания BC трапеции ABCD. На основании AD выбрана точка P. Луч PM пересекает луч DC в точке Q. Перпендикуляр к основанию AD, проведённый через точку P, пересекает отрезок BQ в точке K. Известно, что angle KQD=64^circ и angle KDQ=38^circ. Сколько гр

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Вписанный четырёхугольник ABCD таков, что angle ADB=40^circ и angle CDB=52^circ. Точка M внутри четырёхугольника такова, что angle BAM=26^circ и angle BCM=20^circ. Сколько градусов составляет угол CBM?

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 6

(4 баллов) В окружность ω вписана трапеция ABCD такая, что BCparallel AD, AD=14 и BC=9. Пусть M — середина дуги AD окружности ω, не содержащей точек B и C. Прямая ell касается ω в точке C. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из M на ell. Найдите длину отрезка CH.

Сложная

Планиметрия