ВсОШ 2026, 9 класс, задача 8

Сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2026, 9 класс

( баллов) Два равных прямоугольника и расположены так, как на рисунке. Найдите расстояние от середины отрезка до центра описанной окружности треугольника , если известно, что .

Рис. 21

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Отметим центр описанной окружности треугольника и середину отрезка . Докажем, что точки , и лежат на одной прямой.

Отразим точку от точки и получим точку . Заметим, что четырёхугольник является параллелограммом. Треугольники и равны, поскольку , и .

Обозначим . Тогда . Поскольку — центр описанной окружности , то , и из-за равнобедренности треугольника получаем, что . Отсюда следует, что , , лежат на одной прямой. Также заметим, что . Поскольку , то , и треугольник оказывается равнобедренным. Таким образом, .

Итого получаем, что .

Рис. 22

1

Верное решение.

7
Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 6

(4 баллов) Точка M — середина основания BC трапеции ABCD. На основании AD выбрана точка P. Луч PM пересекает луч DC в точке Q. Перпендикуляр к основанию AD, проведённый через точку P, пересекает отрезок BQ в точке K. Известно, что angle KQD=64circ и angle KDQ=38circ. Сколько гр
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 5

(4 баллов) На окружности по часовой стрелке расположены точки A, B, C, D, E, F, как изображено на рисунке. Хорды AD и CE пересекаются в точке X под прямым углом, хорды AD и BF пересекаются в точке Y. Известно, что CX=12, XE=27, XY=15, BY=9, YF=11. Рисунок к задаче 11.5 (а) (2 балла) Найдите длину от
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Вписанный четырёхугольник ABCD таков, что angle ADB=40circ и angle CDB=52circ. Точка M внутри четырёхугольника такова, что angle BAM=26circ и angle BCM=20circ. Сколько градусов составляет угол CBM?
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 6

(4 баллов) В окружность ω вписана трапеция ABCD такая, что BCparallel AD, AD=14 и BC=9. Пусть M — середина дуги AD окружности ω, не содержащей точек B и C. Прямая ell касается ω в точке C. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из M на ell. Найдите длину отрезка CH.
Сложная
Планиметрия