ВсОШ 2022, 11 класс, задача 5
( баллов) На окружности по часовой стрелке расположены точки , , , , , , как изображено на рисунке. Хорды и пересекаются в точке под прямым углом, хорды и пересекаются в точке .
Известно, что , , , , .
(а) ( балла) Найдите длину отрезка .
(б) ( балла) Найдите радиус окружности.
Ответ
Ответ:
(а) ( балла) .
(б) ( балла) .
Решение. Пусть , (рис. ). Воспользуемся тем, что произведения отрезков секущих хорд, проведённых через данную точку внутри окружности, равны. Это означает, что и . Вычитая из первого уравнения второе, получаем , то есть . Тогда , откуда получаем и . Следовательно, и .
Итак, . Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде , то есть на отрезке . Значит, — диаметр данной окружности, поэтому её радиус равен .
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).