ВсОШ 2025, 9 класс, задача 9
( баллов) В остроугольном треугольнике провели высоты и . Точки и являются серединами сторон и соответственно. Прямая повторно пересекает описанную окружность треугольника в точке . Точка является центром описанной окружности треугольника . Найдите , если , , .
Ответ
Ответ: .
Решение. Докажем в первую очередь, что точки , и лежат на одной прямой.
Сначала заметим, что поскольку треугольник прямоугольный, , а — середина гипотенузы , то треугольник является равносторонним, откуда следует что и .
Отметим, что . Углы и равны, поскольку являются вписанными в одну окружность, а . Поскольку является центром описанной окружности треугольника , то , что приводит к тому, что треугольник – равносторонний. Таким образом, и .
Получаем, что точки , и лежат на одной прямой и .
Верное решение.