ВсОШ 2023, 9 класс, задача 5

Сложная

Планиметрия

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2023, 9 класс

( баллов) Стороны и вписанного четырёхугольника равны. На стороне отмечена точка так, что . Известно, что , .

(а) ( балл) Сколько градусов составляет угол ?

(б) ( балла) Сколько градусов составляет угол ?

Рисунок к задаче 9.5

Ответ

Ответ: (а) ; (б) .

Рисунок к задаче 9.5

Решение. По условию и , поэтому . Тогда .

Поскольку , получаем, что дуги и равны. Это означает, что — биссектриса угла . Из равенства треугольников и следует, что (рис. ).

Поскольку четырёхугольник является вписанным, . Так как и , получаем, что . Имеем

Замечание. Также угол можно было найти с помощью соображения о том, что точка является центром описанной окружности треугольника .

Верное решение пункта (а).

Верное решение пункта (б).

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 6

(4 баллов) Точка M — середина основания BC трапеции ABCD. На основании AD выбрана точка P. Луч PM пересекает луч DC в точке Q. Перпендикуляр к основанию AD, проведённый через точку P, пересекает отрезок BQ в точке K. Известно, что angle KQD=64^circ и angle KDQ=38^circ. Сколько гр

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 8

(4 баллов) На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD отмечена точка T так, что AD=BT. Оказалось, что AB=BC=CT, angle ABT=angle CAD, angle ABC=132^circ. Сколько градусов составляет угол BCD? Рисунок к задаче 8.8

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором AB=BD. На отрезке BD выбрали точку K так, что ADparallel KC. Описанная окружность треугольника KDC пересекает отрезок BC в точке L. Известно, что angle ABD=48^circ и angle CBD=13^circ. Сколько градусов составляет угол BAL?

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 3

(4 баллов) Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC отметили точку O. Оказалось, что AO=BO=CO=BC и DA=DO=DC. Сколько градусов составляет угол BAO?

Сложная

Планиметрия