Муниципальный (7–11 классы)

11 класс

Опубликованные версии задач

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 1

(4 баллов) По кругу выписаны 12 различных натуральных чисел, одно из которых равно 1. Любые два соседних числа отличаются либо на 10, либо на 7. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее выписанное число?

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 2

(4 баллов) Пусть α и β — действительные корни уравнения x²-x-2021=0, причём α>β. Обозначим A=α²-2β²+2αβ+3β+7. Найдите наибольшее целое число, не превосходящее A.

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 3

(4 баллов) Пусть k₁ — наименьшее натуральное число, являющееся корнем уравнения sin k^circ=sin 334k^circ. (а) (2 балла) Найдите k₁. (б) (2 балла) Найдите наименьший корень этого же уравнения, являющийся натуральным числом, большим k₁.

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 4

(4 баллов) В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 5

(4 баллов) На окружности по часовой стрелке расположены точки A, B, C, D, E, F, как изображено на рисунке. Хорды AD и CE пересекаются в точке X под прямым углом, хорды AD и BF пересекаются в точке Y. Известно, что CX=12, XE=27, XY=15, BY=9, YF=11. Рисунок к задаче 11.5 (а) (2 балла) Найдите длину от

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 6

(4 баллов) Дан набор чисел {-1,-2,-3,ldots,-26}. На доску выписали всевозможные подмножества данного набора, в которых есть хотя бы 2 числа. Для каждого выписанного подмножества вычислили произведение всех чисел, принадлежащих данному подмножеству. Чему равна сумма всех этих произведений?

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 7

(4 баллов) Все вершины правильного тетраэдра ABCD находятся по одну сторону от плоскости α. Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость α являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины AB², если известно, что расстояния от точек A и B до плоскости α равны 17 и

Сложная

Стереометрия

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 8

(4 баллов) В каждой клетке полоски 1 × N стоит либо плюс, либо минус. Ваня умеет совершать следующую операцию: выбрать любые три клетки (не обязательно последовательные), одна из которых находится ровно посередине между двумя другими клетками, и поменять три знака в этих клетках на противоположные.

Сложная

Комбинаторика

10 класс

Опубликованные версии задач

PDF

Задания и решения

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 1

(4 баллов) Найдите любое натуральное x такое, что значение выражения 2^x+2⁸+2¹¹ является квадратом натурального числа.

Простая

Теория чисел

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 2

(4 баллов) По кругу лежат 36 шариков, каждый из которых либо красный, либо синий (шарики каждого из этих цветов присутствуют). Известно, что: для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежит ровно один шарик; для любого красного шарика найдётся ровно один крас

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Четырёхугольник ABCD таков, что angle ABD=angle ACD=90^circ, angle CAD=42^circ. Лучи CB и DA пересекаются в точке K. Известно, что BK=3, AD=6. Рисунок к задаче 10.3 (а) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BKA? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BAC?

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 4

(4 баллов) Дана клетчатая прямоугольная таблица. Известно, что существует: ровно 940 способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник 1 × 2; ровно 894 способа вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник 1 × 3. Сколько существует способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник 1 × 5? П

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 5

(4 баллов) Несколько сладкоежек приняли участие в состязании по поеданию конфет. Каждый участник съел целое количество конфет, причём любые два участника съели разное количество конфет. Подводя итоги состязания, жюри упорядочило всех людей по убыванию количества съеденных конфет (например, победител

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 6

(4 баллов) Дана трапеция ABCD. Отрезки AB и CD — её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне AB отмечены точки X и Y так, что AX=6, XY=8, YB=10. Известно, что расстояния от точек X и Y до прямой CD равны 23 и 27 соответственно. Рисунок к задаче 10.6 (а) (1 балл) Найдите площадь тре

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7

(4 баллов) На острове живёт 23 рыцаря и 200 лжецов; имена всех жителей различны. Знающий об этом приехавший турист попросил каждого из 223 жителей написать на листке 200 имён лжецов. Каждый рыцарь написал верно 200 имён лжецов, а каждый лжец написал произвольный список из 200 имён, в котором точно н

Очень сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 8

(4 баллов) Неотрицательные числа a, b, c в сумме дают 1. Найдите наибольшее возможное значение величины (a+3b+5c)(a+frac b3+frac c5).

Средняя

Алгебра

9 класс

Опубликованные версии задач

PDF

Задания и решения

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 1

(4 баллов) Для натурального числа a произведение 1 · 2 · 3 · ldots · a обозначается как a!. (а) (2 балла) Найдите наименьшее натуральное число m такое, что m! делится на 23m. (б) (2 балла) Найдите наименьшее натуральное число n такое, что n! делится на 33n.

Средняя

Теория чисел

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2

(4 баллов) В четырёх классах школы учится более 70 детей, все они пришли на собрание параллели (других детей на собрании не было). Каждую пришедшую девочку спросили: «Сколько пришло человек из твоего класса, включая тебя?» Каждого пришедшего мальчика спросили: «Сколько пришло мальчиков из твоего кла

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 3

(4 баллов) Точка I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. На стороне BC отметили точку X. Оказалось, что AI=BX, AC=CX, angle ABC=42^circ. Рисунок к задаче 9.3 (а) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BIX? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BCA?

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4

(4 баллов) Фома и Ерёма ехали по прямой дороге в Москву на повозке с постоянной скоростью. В 12{:}00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» Ерёма ответил: «82». В 13{:}00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» Ерёма ответил: «71». В 15{:}00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» Ерёма ответил:

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Про действительные ненулевые числа a, b, c известно, что a²-bc=b²-ac=c²-ab. (а) (1 балл) Какие положительные значения может принимать выражение (a/b+c) +(2b/a+c) +(4c/a+b)? Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать положительные зна

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 6

(4 баллов) Дан треугольник ABC, точка M — середина стороны BC. Пусть ell — биссектриса внешнего угла A треугольника ABC. Прямая, проходящая через M и параллельная ell, пересекает сторону AB в точке K. Найдите длину отрезка AK, если AB=23 и AC=8. Рисунок к задаче 9.6

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 7

(4 баллов) На доску выписаны числа 1, 2, 3, ldots, 57. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных числа не отличались ровно в 2,5 раза?

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 8

(4 баллов) На плоскости отмечено 36 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезком так, что из каждой отмеченной точки выходит не более 3 отрезков. Какое наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных может получиться? Вершинам

Сложная

Комбинаторика

8 класс

Опубликованные версии задач

PDF

Задания и решения

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 1

(4 баллов) Числа x, y, z таковы, что x∈[-3,7], y∈[-2,5], z∈[-5,3]. (а) (1 балл) Найдите наименьшее возможное значение величины x²+y². (б) (3 балла) Найдите наименьшее возможное значение величины xyz-z².

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 2

(4 баллов) Дан прямоугольник ABCD. Прямая, проходящая через вершину A и точку K на стороне BC, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка KC, если AD=60. Рисунок к задаче 8.2

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 3

(4 баллов) В ряд лежат 127 шариков, каждый из которых либо красный, либо зелёный, либо синий. Известно, что есть хотя бы один красный, хотя бы один зелёный и хотя бы один синий шарик; слева от каждого синего шарика лежит красный шарик; справа от каждого зелёного шарика лежит красный шарик. (а) (1 ба

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 4

(4 баллов) Ваня выписал в ряд без пропусков друг за другом все натуральные числа от 1 до N в следующем порядке: 1 N 2 N-1 3 N-2 ldots Например, при N=5 получилось бы 15243, а при N=10 получилось бы 11029384756. При каком наименьшем N в такой записи встретится последовательность цифр 301?

Средняя

Теория чисел

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 5

(4 баллов) Клетчатый прямоугольник площади S таков, что: его целиком можно разрезать по линиям сетки на прямоугольники 1 × 13; его целиком можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные уголки (примеры уголков изображены на рисунке ниже); Рисунок к задаче 8.5 не существует клетчатого прямоугольник

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 6

(4 баллов) Числа 13, 14, 15, ldots, 25 покрашены в пять цветов: одно чёрное число, три красных, три синих, три жёлтых, три зелёных. Известно, что: все четыре суммы трёх одноцветных чисел равны; число 13 — красное, 15 — жёлтое, 23 — синее. (а) (1 балл) Найдите чёрное число. (б) (3 балла) Найдите три

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 7

(4 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом A. Квадрат KLMN расположен, как на рисунке: точки K, L, N лежат на сторонах AB, BC, AC соответственно, а точка M расположена внутри треугольника ABC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AK=7, AN=3. Рисунок к задаче 8

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 8

(4 баллов) В ряд встали 7 гномов: Весельчак, Ворчун, Простачок, Скромник, Соня, Умник и Чихун. На каждом из них кофта с первой буквой его имени и колпак. У некоторых из них сегодня плохое настроение, и они при любой просьбе делают всё наоборот (остальные гномы делают то, что их попросят). Белоснежка

Сложная

Комбинаторика

7 класс

Опубликованные версии задач

PDF

Задания и решения

ВсОШ 2022, 7 класс, задача 1

(4 баллов) В 7 «Б» классе учится больше 3, но меньше 15 детей. На Новый год к ним пришёл Дед Мороз с мешком, в котором было 195 конфет. Раздав всем ребятам в классе поровну конфет, Дед Мороз обнаружил, что в мешке осталось 8 конфет. Сколько конфет получил каждый из ребят?

Простая

Теория чисел

ВсОШ 2022, 7 класс, задача 2

(4 баллов) В белом клетчатом квадрате 5 × 5 Петя закрасил несколько клеток в чёрный цвет так, что в каждом клетчатом квадрате 2 × 2 оказалось не более двух чёрных клеток. Его друг Вася, посмотрев на рисунок, решил перекрасить в белый цвет некоторые 5 клеток, любые две из которых находятся в разных с

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 7 класс, задача 3

(4 баллов) В примере с дробями некоторые двузначные натуральные числа заменили буквами A и B. (A-5/A) +frac4B=1. (а) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать A? (б) (2 балла) Какое наибольшее значение может принимать B?

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2022, 7 класс, задача 4

(4 баллов) На рисунке изображены 5 прямых, пересекающиеся в одной точке. Один из получившихся углов равен 34^circ. Сколько градусов составляет сумма четырёх углов, закрашенных серым цветом? Рисунок к задаче 7.4

Простая

Планиметрия

ВсОШ 2022, 7 класс, задача 5

(4 баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 35 жителей острова расселись за 7 столов, по 5 человек за каждым. Каждого из этих 35 жителей спросили: «Столов, за которыми сидят хотя бы 3 рыцаря, больше трёх?» (а) (1 балл) Какое наибольшее чис

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 7 класс, задача 6

(4 баллов) В кружочки на рисунке расставлены натуральные числа 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (каждое число — в одном кружочке) так, что все три суммы трёх чисел вдоль каждой линии равны. Какое число может оказаться в кружочке X? Укажите все возможные варианты. Рисунок к задаче 7.6

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 7 класс, задача 7

(4 баллов) На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка D. На отрезках AD и DC во внешнюю сторону от исходного треугольника построены равносторонние треугольники ADE и DCF. Известно, что периметр треугольника DEF равен 19, а периметр пятиугольника ABCFE равен 43. Рисунок к задаче 7.

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 7 класс, задача 8

(4 баллов) В шахматном турнире участвовали 30 шахматистов, каждый сыграл с каждым ровно один раз. За победу давалось 1 очко, за ничью — 1/2, а за поражение — 0. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться ровно 5 очков?

Сложная

Комбинаторика