ВсОШ 2022, 8 класс, задача 6

Ответ:

(а) ( балл) .

(б) ( балла) , , .

Решение. (а) Посчитаем сумму чисел от до :

Сумма всех чисел, кроме чёрного, должна делиться на . Поскольку даёт остаток при делении на , то для чёрного числа есть ровно три варианта: , , . Так как — жёлтое число, а — синее, то — точно чёрное.

(б) Поймём, что нам уже известно про числа:

• чёрное число: ;
• красное число: ;
• жёлтое число: ;
• синее число: ;
• зелёные числа нам пока неизвестны;
• числа, у которых ещё не определён цвет: , , , , , , , , .

Ясно, что сумма одноцветных (красных/жёлтых/зелёных/синих) чисел равна .

Из условия мы знаем, что число — красное, поэтому сумма остальных красных чисел равна . Есть единственный способ, как можно представить в виде суммы двух чисел с ещё не определённым цветом: . Значит, числа и — красные.

Поймём, что нам теперь известно про числа:

• чёрное число: ;
• красные числа: , , ;
• жёлтое число: ;
• синее число: ;
• зелёные числа нам пока неизвестны;
• числа, у которых ещё не определён цвет: , , , , , , .

Из условия мы знаем, что число — жёлтое, поэтому сумма остальных жёлтых чисел равна . Есть единственный способ, как можно представить в виде суммы двух чисел с ещё не определённым цветом: . Значит, числа и — жёлтые.

Получаем следующее:

• чёрное число: ;
• красные число: , , ;
• жёлтые числа: , , ;
• синее число: ;
• зелёные числа нам пока неизвестны;
• числа, у которых ещё не определён цвет: , , , , .

Число точно не синее, так как иначе оставшееся синее число равнялось бы , поэтому число — зелёное. Сумма оставшихся зелёных чисел равна , поэтому их определить нетрудно — это и . Оставшиеся числа и — точно синие.

Таким образом, мы однозначно восстановили раскраску всех чисел:

• чёрное число: ;
• красные число: , , ;
• жёлтые числа: , , ;
• синие числа: , , ;
• зелёные числа: , , .