ВсОШ 2023, 10 класс, задача 5

Ответ: .

Решение. Во-первых, заметим, что не только каждый бросил ровно один снежок, но и в каждого бросили ровно один снежок. Действительно, из фразы «первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго» следует, что кто-то бросил снежок во второго; аналогично устанавливается, что в каждого бросили хотя бы один снежок. Но так как всего снежков столько же, сколько детей, то в каждого должны были бросить ровно один снежок.

Изобразим каждого ребёнка точкой; проведём из точки в точку стрелочку, если ребёнок бросил снежок в . Так как в каждую точку ровно одна стрелочка входит и из каждой ровно одна выходит, то стрелочки соединяются в один или несколько циклов.

Рассмотрим тот из циклов, который включает первого ребёнка. Пусть первый бросил снежок в ребёнка с номером . Тогда ребёнок с номером бросил снежок во второго, второй — в ребёнка с номером и так далее. Таким образом, этот цикл устроен следующим образом:

Если идти по нему с шагом в две стрелочки, то получаются числа , , , , — все числа от до . Значит, в цикл входят все ребёнка, и на самом деле других циклов нет.

Заметим, что если начать с и сделать раза шаг в две стрелочки, мы пройдём целый цикл и ещё одну стрелочку, то есть попадём в . Значит, . Тогда номер того, кто бросил снежок в третьего, — это .