ВсОШ 2026, 8 класс, задача 7
( баллов) Правильный треугольник со стороной разбит на девять треугольных клеток, в которых расставлены числа, как на рисунке. За один ход можно выбрать одну из вершин сетки и увеличить числа во всех клетках с этой вершиной на . Леша хочет сделать несколько ходов так, чтобы все числа оказались равны.
(а) ( балла) Какое число должно быть записано вместо знака вопроса, чтобы он смог этого добиться?
(б) ( балла) Какое наименьшее количество ходов ему понадобится?
Ответ
Ответ: а) , б) .
Решение. (а) Покрасим клетки в центральном шестиугольнике в красный и синий, обходя их по кругу и чередуя цвета. Заметим, что любая операция прибавляет поровну к числам в красных и синих клетках. Это означает, что если в конце все числа оказались равны, то в начале суммы чисел в красных и синих клетках должны были быть одинаковыми. Тогда число под знаком вопроса равно .
(б) Посмотрим на числа в углах большого треугольника. За каждый ход к ним суммарно можно прибавить не более . Поскольку в одной из клеток сетки есть число , а числа в ходе операций не уменьшаются, то в конце все числа будут не менее . Изначально сумма в углах равна , а в конце должна стать не менее . Значит, нужно сделать хотя бы операций.
При этом операций хватит. В примере на рисунке показано, сколько к какой вершине сетки нужно применить операций.
Верное решение.