ВсОШ 2022, 10 класс, задача 2
( баллов) По кругу лежат шариков, каждый из которых либо красный, либо синий (шарики каждого из этих цветов присутствуют). Известно, что:
- для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежит ровно один шарик;
- для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежат ровно три шарика.
(а) ( балла) Пусть нет двух рядом лежащих красных шариков. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты.
(б) ( балла) Пусть есть два рядом лежащих красных шарика. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты.
Ответ
Ответ:
(а) ( балла) .
(б) ( балла) .
Решение. По условию найдутся два красных шарика, между которыми лежит ровно один шарик. Пронумеруем шарики по часовой стрелке числами , , , так, чтобы -й и -й шарики были красными. Из условия следует, что -й шарик синий (иначе первое условие неверно для -го шарика), -й шарик синий (иначе первое условие неверно для -го шарика), -й шарик красный (иначе второе условие неверно для -го шарика), -й шарик красный (иначе первое условие неверно для -го шарика). Значит, предположив, что -й и -й шарики — красные, мы получили, что шарик -й — синий, а -й и -й шарики — красные. Аналогично рассуждая дальше, получаем, что -й — синий, -й и -й — красные, , -й и -й — красные. Значит, среди шариков с нечётными номерами две трети составляют красные, а треть — синие.
(а) Пусть нет двух рядом красных шариков. Несложно понять, что тогда среди шариков с чётными номерами красных вообще нет. Значит, всего красных шариков . Пример на красных шариков изображён ниже.
(б) Пусть есть два рядом красных шарика. Несложно понять, что тогда среди шариков с чётными номерами красные тоже составляют две трети. Значит, всего красных шариков . Пример на красных шарика изображён ниже.
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).