ВсОШ 2022, 8 класс, задача 5
( баллов) Клетчатый прямоугольник площади таков, что:
- его целиком можно разрезать по линиям сетки на прямоугольники ;
- его целиком можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные уголки (примеры уголков изображены на рисунке ниже);
- не существует клетчатого прямоугольника меньшей площади, удовлетворяющего двум предыдущим условиям.
(а) ( балла) Найдите .
(б) ( балла) Чему может быть равен периметр этого прямоугольника? Укажите все возможные варианты.
Ответ
Ответ:
(а) ( балла) .
(б) ( балла) , , .
Решение. (а) Из условия следует, что делится на . Докажем, что . Очевидно, что прямоугольник не подходит.
Рассмотрим прямоугольник ( строки, столбцов). Предположим, что его можно разрезать на трёхклеточные уголки. Тогда клетки первого столбца принадлежат в точности двум уголкам. При этом клетки второго столбца также полностью покрываются теми же сами двумя уголками.
Отрежем первые два столбца (так как они уже разрезаны на два уголка). Повторим аналогичное рассуждение со следующей парой столбцов, затем со следующей, и так далее. В итоге останется один последний столбец, который не удастся разрезать на уголки. Противоречие.
Для нетрудно построить пример — см. следующий пункт.
(б) Есть несколько способов представить в виде произведения двух натуральных чисел:
- ;
- ;
- ;
- .
Первый случай, очевидно, не подходит. В трёх остальных случаях построим примеры разбиений на уголки (разбиение на прямоугольники очевидно). Ответ в задаче — периметры трёх соответствующих прямоугольников.
Случай ( строки, столбцов). Разрежем всю конструкцию на горизонтальных прямоугольников . Затем каждый из них разрежем на два уголка.
Случай ( строки, столбцов). Разрежем всю конструкцию на вертикальных прямоугольников . Затем каждый из них разрежем на два уголка.
Случай ( строк, столбцов). Отрежем прямоугольник, образованный первыми тремя столбцами. Далее разрежем его на горизонтальных прямоугольника . Оставшийся прямоугольник нетрудно разрезать на вертикальных прямоугольников . Затем каждый из них разрежем на два уголка.
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).