ВсОШ 2026, 8 класс, задача 4

Ответ: .

Решение. Пусть ребята получили конфет. Если условие выполняется для девяти ребят с наименьшим количеством конфет, то оно выполняется и для любых девяти ребят, т.к. в остальных вариантах у девяти ребят сумма конфет будет больше, а у восьми меньше, чем в этом варианте, и условие снова выполнится. Итак, нам достаточно, чтобы выполнялось .

Пусть для какого-то , . Посмотрим, что произойдёт, если мы уменьшим все числа от до на . Если , то правая часть уменьшится, а левая не изменится, т.е. неравенство все ещё будет верно. Если , то правая часть уменьшится на , а левая — не более чем на , т.е. неравенство тоже останется верным. При этом сумма всех чисел уменьшится, и все ребята снова получат разное количество конфет. Значит, минимальное возможное суммарное количество конфет мы получим, если числа от до — последовательные натуральные числа. Пусть это числа . По нашему неравенству , , , т.е. наименьшее возможное . Тогда ответ — число .