ВсОШ 2023, 10 класс, задача 7

Ответ: .

Решение. Докажем, что за приёмов пищи Карлсон всегда сможет съесть всё варенье. Будем раскладывать банки в кучки по следующему алгоритму. В каждую кучку (сначала в первую, потом во вторую и так далее) будем класть банки по одной до тех пор, пока в ней не станет больше чем кг варенья. Последнюю банку, которую мы положим в кучку, будем называть лишней. Поскольку у Малыша кг варенья, всего таких кучек окажется не более .

Очевидно, что если из кучки убрать лишнюю банку, то всё остальное варенье Карлсон сможет съесть за один приём пищи. То есть всё варенье, кроме лишних банок, Карлсон съест за приёмов пищи. А на лишние банки он потратит не более приёмов пищи, так как их не более штук, и каждая из них весит не более кг.

Теперь покажем, что Карлсон не всегда сможет съесть всё варенье за приёмов пищи. Пусть банок всего , и в каждой из них кг варенья. Если бы Карлсону всё это удалось съесть за приёмов пищи, то по принципу Дирихле нашёлся бы приём пищи, за который он съел хотя бы банок варенья. Но , противоречие.

Другое построение примера. Продемонстрируем, что Карлсон за один раз сможет съесть хотя бы кг варенья, если варенья осталось хотя бы такое количество.

Сначала будем выбирать банки по одной, пока не наберём в сумме больше кг варенья. Потом начнём возвращать выбранные банки по одной так, чтобы в сумме оставалось не менее кг варенья.

Предположим, что мы уже не можем вернуть ни одну из выбранных банок, но варенья в них в сумме всё ещё больше кг. Ясно, что тогда у нас осталось не менее банок, и наименьшая из них содержит не более общей массы варенья. Выберем её и вернём; тогда останется не менее кг варенья. Противоречие. Следовательно, оставшиеся выбранные банки Карлсон может открыть и съесть за один раз.

Получается, что Карлсон в любом случае сможет съедать хотя бы кг варенья за один раз, кроме последнего раза, когда он доест оставшееся. Тогда, очевидно, за приёмов пищи он справится.