ВсОШ 2025, 10 класс, задача 7
( баллов) Школьный актовый зал представляет из себя квадрат . На вечернем мероприятии все места были заняты. Каждый из присутствующих сказал: «В моём горизонтальном ряду сидит больше девочек, чем в моём вертикальном ряду». Оказалось, что детей сказало правду, а — неправду. Какое наибольшее число девочек могло присутствовать?
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть дети сидят следующим образом: мальчиков сидят в одном горизонтальном ряду, а на остальных местах сидят девочки. Тогда правду скажут только те девочки, которые сидят в одном вертикальном ряду с каким-то из этих мальчиков. Таких девочек , т.е. как раз .
Докажем, что больше девочек быть не может. Заметим, что если в каком-то вертикальном ряду все являются девочками, то все они говорят неправду, т.к. в их горизонтальном ряду не может быть больше девочек. Но тогда, если девочек больше , то найдётся хотя бы вертикальных рядов, целиком заполненных девочками, а значит, людей, сказавших неправду, будет хотя бы , противоречие.
Верное решение.