ВсОШ 2026, 7 класс, задача 6
( баллов) Двадцать прямых, никакие две из которых не параллельны, пересекаются в точках. В одной из точек пересекается сразу десять прямых, еще в одной — пять, а во всех остальных только по две прямые. Чему может быть равно ? Укажите все возможные варианты ответа.
Ответ
Ответ: .
Решение. Если бы в каждой точке пересекалось ровно две прямые, то точек пересечения было бы , поскольку каждая из прямых пересекает каждую из оставшихся , при этом каждую точку посчитали дважды — для обеих прямых, которым она принадлежит, поэтому делим на два.
Рассмотрим те десять прямых, которые пересеклись в одной точке. Если бы все они пересекались в разных точках, то точек пересечения было бы . Но у нас есть только одна точка пересечения, значит, мы «потеряли» точки.
Аналогично для пяти прямых, пересекающихся в одной точке, мы «потеряли» точек.
Итого у нас осталось точек.
Верное решение.