ВсОШ 2026, муниципальный этап, 7 класс, задача 6

( баллов) Двадцать прямых, никакие две из которых не параллельны, пересекаются в точках. В одной из точек пересекается сразу десять прямых, еще в одной — пять, а во всех остальных только по две прямые. Чему может быть равно ? Укажите все возможные варианты ответа.

Ответ

Ответ: .

Решение. Если бы в каждой точке пересекалось ровно две прямые, то точек пересечения было бы , поскольку каждая из прямых пересекает каждую из оставшихся , при этом каждую точку посчитали дважды — для обеих прямых, которым она принадлежит, поэтому делим на два.

Рассмотрим те десять прямых, которые пересеклись в одной точке. Если бы все они пересекались в разных точках, то точек пересечения было бы . Но у нас есть только одна точка пересечения, значит, мы «потеряли» точки.

Аналогично для пяти прямых, пересекающихся в одной точке, мы «потеряли» точек.

Итого у нас осталось точек.

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2026, муниципальный этап, 9 класс, задача 7

(7 баллов) (а) (2 балла) Клетки таблицы 11 × 10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2 × 2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть? (б) (5 баллов) Клетки таблицы 11 × 10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1 × 4 и 4 × 1 е

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, муниципальный этап, 8 класс, задача 8

(4 баллов) В ряд встали 7 гномов: Весельчак, Ворчун, Простачок, Скромник, Соня, Умник и Чихун. На каждом из них кофта с первой буквой его имени и колпак. У некоторых из них сегодня плохое настроение, и они при любой просьбе делают всё наоборот (остальные гномы делают то, что их попросят). Белоснежка

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, муниципальный этап, 7 класс, задача 8

(4 баллов) В шахматном турнире участвовали 30 шахматистов, каждый сыграл с каждым ровно один раз. За победу давалось 1 очко, за ничью — 1/2, а за поражение — 0. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться ровно 5 очков?

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, муниципальный этап, 11 класс, задача 1

(4 баллов) По кругу выписаны 12 различных натуральных чисел, одно из которых равно 1. Любые два соседних числа отличаются либо на 10, либо на 7. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее выписанное число?

Сложная

Комбинаторика