ВсОШ 2022, 11 класс, задача 1

Сложная
Комбинаторика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2022, 11 класс

( баллов) По кругу выписаны различных натуральных чисел, одно из которых равно . Любые два соседних числа отличаются либо на , либо на . Какое наибольшее значение может принимать наибольшее выписанное число?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Пронумеруем для удобства все числа по кругу по часовой стрелке, начиная с числа : , , , . Заметим, что для всех верно

поэтому не превосходит , а все остальные числа не превосходят .

Если , то все разности , , , , , , , равны , но тогда , противоречие. Значит, , откуда следует, что . Итак, наибольшее выписанное число не превосходит .

Осталось проверить, что на доске действительно может присутствовать число . Пусть по кругу по часовой стрелке выписаны числа , , , , , , , , , , , .

Рисунок к задаче 11.1

Легко видеть, что все условия задачи выполняются.

1

Верное решение.

4
Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 7

(7 баллов) (а) (2 балла) Клетки таблицы 11 × 10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2 × 2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть? (б) (5 баллов) Клетки таблицы 11 × 10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1 × 4 и 4 × 1 е
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 6

(4 баллов) Числа 13, 14, 15, ldots, 25 покрашены в пять цветов: одно чёрное число, три красных, три синих, три жёлтых, три зелёных. Известно, что: все четыре суммы трёх одноцветных чисел равны; число 13 — красное, 15 — жёлтое, 23 — синее. (а) (1 балл) Найдите чёрное число. (б) (3 балла) Найдите три
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 3

(7 баллов) По кругу стоят 15 мальчиков и 26 девочек. Известно, что ровно у 19 человек оба соседа — девочки. У какого количества человек оба соседа — мальчики?
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 7 класс, задача 5

(7 баллов) Найдите количество путей длины 11 из A в B по сторонам нарисованных клеток, если каждая клетка является квадратом со стороной 1. Рис. 2
Сложная
Комбинаторика