ВсОШ 2026, 8 класс, задача 8
( баллов) Карточки с натуральными числами от до разбили на группы по карточек. Назовём пару чисел хорошей, если карточка с числом лежит в первой группе, а с числом — во второй. Оказалось, что хороших пар ровно . Чему может быть равна сумма чисел на карточках в первой группе? Укажите все возможные варианты ответа.
Ответ
Ответ: .
Решение. Назовём пару карточек почти хорошей, если карточка с числом лежит во второй группе. Любая почти хорошая пара карточек либо является хорошей, либо содержит карточки из второй группы. Всего есть способов выбрать карточки из второй группы, и любая пара карточек из второй группы будет почти хорошей. Поэтому почти хороших пар будет . При этом карточка с числом из второй группы участвует в почти хорошей паре, то есть число на карточке второй группы равно количеству почти хороших пар с ее участием плюс . Во второй группе карточек, почти хороших пар суммарно , поэтому сумма чисел на карточках во второй группе равняется . А так как сумма чисел на всех карточках равняется , то сумма чисел на карточках в первой группе равна .
Верное решение.