ВсОШ 2025, 7 класс, задача 9

Ответ: .

Решение. Приведём пример, как можно использовать прямоугольников.

Докажем, что меньшего количества прямоугольников получиться не могло. Сначала докажем, что итоговый квадрат не может быть размером меньше, чем .

Понятно, что размер квадрата не меньше, чем , т.к. есть прямоугольник . Если он равен , посмотрим на прямоугольник , пусть не ограничивая общности, он горизонтальный. Тогда в его строке остаётся одна свободная клетка, которая может быть занята только вертикальным прямоугольником . Тогда можно посмотреть на него и понять, что в его столбце одна клетка должна быть занята горизонтальным прямоугольником . Для него рассуждения аналогичны, и получаем, что эти прямоугольники должны быть на границе. Тогда внутри образуется квадрат . Заметим, что в нём уже прямоугольников быть не может, поэтому он должен разбиваться на прямоугольники . Но если расположить один такой прямоугольник горизонтально, то в оставшиеся клетки на горизонтали ничего расположить уже не удастся, с вертикальным аналогично.

Пусть теперь размер квадрата равен . Можно провести аналогичные рассуждения как и в случае и получить, что по внешнему контуру должны быть по прямоугольника . Значит внутренний квадрат должен быть разбит на прямоугольники . Такого не может быть, поскольку площадь квадрата не делится на площадь прямоугольника .

Значит, размер квадрата не меньше . Если он хотя бы , то площадь такого квадрата уже хотя бы . При этом площадь прямоугольника равна , а площадь прямоугольника равна , поэтому прямоугольников будет не меньше .

Осталось понять, что если квадрат имеет размер , то прямоугольников не менее . Пусть — количество прямоугольников , а — количество прямоугольников . Тогда , откуда . Значит, должно делиться на , а значит и на . Но так как делится на , то и должно делиться на , откуда делится на .

Если , то и . Если , то и . Если же , то . Значит, меньше чем прямоугольников использовать нельзя.

Таким образом, наименьшее количество прямоугольников, которое могло быть использовано — это .