ВсОШ 2026, 7 класс, задача 4
( баллов) У Алексея, Бориса, Вити, Гены и Димы есть суммарно монет. Они сделали следующие утверждения:
- Алексей: «Количество монет у меня хотя бы столько же, сколько и суммарно у остальных».
- Борис: «Количество монет у меня хотя бы половина от суммарного количества монет у остальных».
- Витя: «Количество монет у меня хотя бы треть от суммарного количества монет у остальных».
- Гена: «Количество монет у меня хотя бы четверть от суммарного количества монет у остальных».
- Дима: «Количество монет у меня хотя бы одна пятая от суммарного количества монет у остальных».
Известно, что один из них соврал, а остальные сказали правду.
(а) Кто из них соврал?
(б) Какое наибольшее количество монет может быть у совравшего на самом деле?
Ответ
Ответ: Алексей, монет.
Решение. Заметим, что если утверждение вида «Количество монет у меня хотя бы от суммарного количества монет у остальных» для некоторого человека верно, то количество монет у него составляет хотя бы от суммарного количества монет у всех людей. Действительно, пусть у этого человека монет, а у остальных суммарно . Тогда или . Тогда , т.е. , что мы и хотели доказать.
Теперь воспользуемся этим. Запишем, какое минимальное количество монет может быть у человека, если он говорит правду. У Алексея , у Бориса , у Вити , у Гены , у Димы .
Заметим, что если Алексей говорит правду, то суммарно монет не менее , противоречие. Значит, Алексей соврал.
У остальных монет хотя бы . Поэтому у Алексея не более монет. При этом, если у Алексея монет, у Бориса монет, у Вити монет, у Гены монет, а у Димы монет, то все, кроме Алексея, говорят правду, т.е. такое может быть.
Верное решение.