ВсОШ 2022, 8 класс, задача 4

Ответ: .

Решение. Заметим, что в нашей последовательности сумма двух подряд идущих чисел равна или .

Рассмотрим последовательность цифр . Есть четыре случая:

• цифры этой последовательности принадлежат одному числу, тогда , но мы покажем, что может быть и меньше;
• цифры этой последовательности принадлежат трём разным числам: одно заканчивается на , другое начинается на и число посередине, но в нашем ряду только натуральные числа, поэтому этот случай невозможен;
• цифры этой последовательности принадлежат двум разным числам: одно заканчивается на , другое начинается на , но в нашем ряду только натуральные числа, поэтому этот случай невозможен;
• цифры этой последовательности принадлежат двум разным числам: одно заканчивается на , другое начинается на .

Последний случай рассмотрим более детально. Число, которое начинается на , не может равняться , так как в нашей последовательности перед нет других чисел.

Таким образом, второе число не меньше , а предыдущее число не меньше , то есть сумма наших двух подряд идущих чисел не меньше . Но она равна или , поэтому .

Теперь приведём пример для .