ВсОШ 2022, 11 класс, задача 4

Средняя
Комбинаторика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2022, 11 класс

( баллов) В спортивной школе занимается человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Пусть в школе занимаются теннисистов и шахматистов. У каждого из шахматистов количество друзей-теннисистов не меньше и не больше , то есть может принимать значений. Если бы шахматистов было больше , среди них по принципу Дирихле нашлись четверо с одинаковым количеством друзей-теннисистов. Значит, шахматистов не больше , получаем неравенство . Решая его, получаем , тогда .

Заметим также, что ровно шахматиста могло быть: пусть для каждого целого какие-то трое шахматистов имеют ровно произвольных друзей-теннисистов.

1

Верное решение.

4
Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 2

(4 баллов) Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 1

(4 баллов) В корзине лежит 41 яблоко: 10 зелёных, 13 жёлтых и 18 красных. Алёна последовательно достаёт из корзины по одному яблоку. Если в какой-то момент она суммарно вытащит зелёных яблок меньше, чем жёлтых, а жёлтых — меньше, чем красных, то больше яблок из корзины она доставать не будет. (а) (1
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 7

(4 баллов) Петя выписал на доску выражение 1+2+ldots+1000. Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число 547 превратилось в 5 · 4 · 7. Чему равно значение полученного выражения?
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 4

(4 баллов) В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда
Средняя
Комбинаторика