ВсОШ 2025, 9 класс, задача 7
( баллов) Петя выписал на доску выражение . Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число превратилось в . Чему равно значение полученного выражения?
Ответ
Ответ: .
Решение. Заметим, что если в записи числа присутствует , то произведение его цифр равно . Значит, все такие числа дадут нулевой вклад в итоговое выражение. Таким образом, осталось лишь рассмотреть числа без нулей в записи.
Разберёмся по-отдельности с однозначными, двузначными и трёхзначными числами. Однозначных чисел всего и они дают вклад .
Докажем, что двузначные числа дают вклад . Действительно, рассмотрим выражение . После раскрытия скобок образуются все пары вида , где и — ненулевые цифры. Это как раз и совпадает с тем, что получится, если у всех двузначных чисел просуммировать произведение цифр.
Аналогично, для трёхзначных чисел можно рассмотреть произведение , значение которого будет равно вкладу всех трёхзначных чисел.
Таким образом, искомый ответ это .
Верное решение.