ВсОШ 2025, 7 класс, задача 2

Средняя

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2025, 7 класс

( баллов) Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?

Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что число подходит, поскольку суммы соседних пар цифр равны , , , , , . Докажем, что большего числа получиться не могло.

Если какое-то семизначное число больше, чем , то первые две цифры у него должны быть равны . Тогда третья цифра не может быть равна , иначе будут две совпадающие суммы . Значит, она не больше . Аналогично, четвёртая цифра не может быть равна , иначе будут две суммы . Тогда она не больше .

Продолжая те же самые рассуждения, получаем, что пятая цифра не больше (иначе будет либо , либо ). Шестая цифра не больше (иначе либо , либо ). Седьмая цифра не больше (иначе либо , либо , либо ). Значит, больше чем получить не получится.

Верное решение.

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 4

(4 баллов) В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 4

(4 баллов) В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 5

(4 баллов) В футбольном турнире участвовало десять команд, каждая сыграла с каждой один раз. Команды, занявшие первое и второе место, в сумме набрали всего лишь на пять очков меньше, чем все остальные команды вместе. Сколько очков набрала команда с минимальным количество очков? За победу в футбольно

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 2

(2 баллов) Катя написала на доске натуральное число. За один ход она может взять две подряд идущие цифры этого числа, произведение которых является двузначным числом, и заменить их на это произведение. Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за один ход из него 1158 ил

Средняя

Комбинаторика