ВсОШ 2022, 7 класс, задача 5
( баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды жителей острова расселись за столов, по человек за каждым. Каждого из этих жителей спросили: «Столов, за которыми сидят хотя бы рыцаря, больше трёх?»
(а) ( балл) Какое наибольшее число жителей могли ответить «Да»?
(б) ( балла) Какое наибольшее число жителей могли ответить «Нет»?
Ответ
Ответ:
(а) ( балл) .
(б) ( балла) .
Решение. (а) Ясно, что «Да» могли ответить все человек, если бы они были рыцарями. Больше , очевидно, быть не могло.
(б) Рассмотрим два случая.
Первый случай. Утверждение «Столов, за которыми сидят хотя бы рыцаря, больше трёх» — правда.
Тогда столов, за которыми хотя бы рыцаря, хотя бы , то есть всего рыцарей хотя бы . Следовательно, лжецов не более , то есть ответов «нет» было не более .
Пример в этом случае построить нетрудно:
- за первыми четырьмя столами сидят по рыцаря и лжеца;
- за остальными тремя столами сидят по лжецов.
Второй случай. Утверждение «Столов, за которыми сидят хотя бы рыцаря, больше трёх» — ложь.
Тогда столов, за которыми сидят хотя бы рыцаря, не более . Таким образом, есть хотя бы стола, за каждым из которых сидят не более рыцарей. Поэтому есть хотя бы стола, за каждым из которых сидят хотя лжеца, то есть лжецов хотя бы .
Поэтому рыцарей было не более , то есть ответов «нет» было не более .
Пример в этом случае построить нетрудно:
- за первыми тремя столами сидят по рыцарей;
- за остальными четырьмя столами сидят по рыцаря и лжеца.
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).