ВсОШ 2022, муниципальный этап, 10 класс, задача 4
( баллов) Дана клетчатая прямоугольная таблица. Известно, что существует:
- ровно способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник ;
- ровно способа вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник .
Сколько существует способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник ?
При подсчёте количества способов вырезания прямоугольника учитываются и вертикальные, и горизонтальные расположения.
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть в таблице строк и столбцов. Не нарушая общности, . Ясно, что хотя бы одно из чисел и не меньше .
- Предположим, . Тогда из таблицы вырезать прямоугольник можно способами, а вырезать прямоугольник можно способами. Ясно, что таких значений не существует.
- Предположим, . Тогда из таблицы вырезать прямоугольник можно способами, а прямоугольник можно вырезать способами. Следовательно, и . Вычитая из первого равенства второе, получаем . Из этого следует, что . По обратной теореме Виета числа и являются корнями трёхчлена , поэтому и . Вырезать прямоугольник из таблицы можно ровно способами.