ВсОШ 2025, 9 класс, задача 3
( баллов) Катя написала на доске натуральное число. За один ход она может взять две подряд идущие цифры этого числа, произведение которых является двузначным числом, и заменить их на это произведение.
Например, если бы число Кати было равно , то она могла бы получить за один ход из него или .
Известно, что после того как Катя произвела операции со своим числом, она получила число .
(б) Укажите в любом порядке все числа, которые могли быть у Кати изначально.
Ответ
Ответ: , , .
Решение. Посмотрим, какие числа могли получиться у Кати на предыдущем шаге. Какие-то две соседние цифры числа должны быть произведением двух цифр числа на предыдущем шаге. Поскольку и нельзя представить в виде произведения двух цифр, то это может быть либо , либо . Значит, на предыдущем шаге было либо число , либо .
Проделаем ещё один шаг назад. Из числа этого сделать не получится, т.к. , и нельзя представить в виде произведения двух цифр. В числе в виде произведения двух цифр можно представить только как или как . Значит, на предыдущем шаге было либо число , либо .
У числа подходящая пара цифр — это только . Значит, до него могли быть числа и .
У числа подходящая пара цифр только , и значит до него могло быть только число .
Итого получаем три варианта: , , .
Верное решение.