ВсОШ 2023, 11 класс, задача 1
( баллов) В корзине лежит яблоко: зелёных, жёлтых и красных. Алёна последовательно достаёт из корзины по одному яблоку. Если в какой-то момент она суммарно вытащит зелёных яблок меньше, чем жёлтых, а жёлтых — меньше, чем красных, то больше яблок из корзины она доставать не будет.
(а) ( балл) Какое наибольшее количество жёлтых яблок сможет достать Алёна из корзины?
(б) ( балла) Какое наибольшее количество яблок сможет достать Алёна из корзины?
Ответ
Ответ: (а) яблок; (б) яблок.
Решение. (а) Алёна сможет достать из корзины все жёлтых яблок, например, если первые яблок окажутся жёлтыми. Так как ни в какой момент жёлтых яблок не становится меньше, чем красных, Алёна действительно сможет это сделать.
(б) Покажем, что Алёна может достать все яблоки, кроме двух жёлтых. Пусть для этого она достаёт сначала зелёных, потом красных, а потом жёлтых. Заметим, что пока жёлтых не станет , условие о том, что зелёных яблок меньше, чем жёлтых, выполняться не будет. Таким образом, Алёна действительно сможет достать яблок.
Теперь докажем, что больше яблок Алёна достать не сможет. Предположим противное: Алёна в какой-то момент смогла достать яблок. Перед тем, как доставать -е яблоко, жёлтых яблок у неё уже не менее . Зелёных яблок к этому моменту она вытащила не более , поэтому первое условие точно выполнено. С другой стороны, жёлтых яблок к этому моменту она вытащила не более , а красных — не менее , поэтому и второе условие тоже точно выполнено. Но тогда доставать -е яблоко она не будет, противоречие.
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).