ВсОШ 2022, 10 класс, задача 3

Ответ:

(а) ( балла) .

(б) ( балла) .

Решение. Из условия следует, что точки , , , лежат на окружности с диаметром . Соединим отрезком точку и середину отрезка , которая является центром этой окружности (рис. ). Ясно, что .

Треугольники и являются равнобедренными. Пусть . Угол , равный , является внешним для треугольника и равен сумме двух внутренних равных углов при вершинах и , поэтому .

Поскольку четырёхугольник является вписанным, . Угол , равный , является внешним для треугольника и равен сумме двух внутренних углов при вершинах и , поэтому , откуда находим .

В прямоугольном треугольнике сумма углов при вершинах и равна , поэтому , откуда находим .