ВсОШ 2023, 8 класс, задача 5
( баллов) В выпуклом четырёхугольнике биссектрисы углов и параллельны, а биссектрисы углов и пересекаются под углом , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов и ?
Ответ
Ответ: .
Решение. Отметим точки пересечения биссектрис , , , (см. рис. ). Кроме этого, обозначим , , , .
Поскольку сумма углов четырёхугольника равна , имеем:
Рассмотрим треугольник . В нём:
- ,
- , так как — внешний угол треугольника (этот угол и нужно найти в задаче),
- .
Следовательно, треугольник — равнобедренный, и .
Другое решение. Зафиксируем угол и перенесём параллельно угол так, чтобы вершина оказалась на биссектрисе угла . (Или более формально, отметим на биссектрисе угла точку и проведём из неё лучи, сонаправленные лучам и ; пересечения этих лучей с лучами и соответственно обозначим через и , как на рис. .)
Стороны нового четырёхугольника параллельны сторонам исходного; значит, и углы между этими сторонами такие же. Следовательно, биссектрисы нового четырёхугольника параллельны соответствующим биссектрисам исходного, и углы между ними тоже сохранились.
Но это означает, что биссектрисы углов и совпадают, то есть вся новая картинка симметрична относительно прямой (из равенства треугольников и по общей стороне и прилежащим к ней углам).
Из симметрии следует, что другие две биссектрисы пересекаются на прямой и образуют с ней равные углы. Тогда искомый угол после удвоения будет дополнять до развёрнутого. Следовательно, он равен .
Верное решение.