ВсОШ 2025, 11 класс, задача 3

Средняя

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2025, 11 класс

( баллов) Три окружности радиусов , , касаются как на рисунке, а их центры , , вместе с точкой являются вершинами прямоугольника, причём точка лежит на окружности с центром . Найдите площадь прямоугольника , если .

Три касающиеся окружности

Ответ

Ответ: .

Решение. По условию четырёхугольник является прямоугольником, так что . Поскольку отрезок, соединяющий центры двух окружностей, касающихся внешним образом, равен сумме радиусов, имеем .

Кроме того, угол является прямым, значит, треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора , то есть . Раскрывая скобки, сокращая общие слагаемые, получаем . Сократим на обе части и подставим , :

Получилось квадратное уравнение , корнями которого являются числа и , но поскольку число положительно, то . Отсюда , а площадь прямоугольника равна .

Верное решение.

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Четырёхугольник ABCD таков, что angle ABD=angle ACD=90^circ, angle CAD=42^circ. Лучи CB и DA пересекаются в точке K. Известно, что BK=3, AD=6. Рисунок к задаче 10.3 (а) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BKA? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BAC?

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 6

(4 баллов) Дана трапеция ABCD. Отрезки AB и CD — её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне AB отмечены точки X и Y так, что AX=6, XY=8, YB=10. Известно, что расстояния от точек X и Y до прямой CD равны 23 и 27 соответственно. Рисунок к задаче 10.6 (а) (1 балл) Найдите площадь тре

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 7

(4 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом A. Квадрат KLMN расположен, как на рисунке: точки K, L, N лежат на сторонах AB, BC, AC соответственно, а точка M расположена внутри треугольника ABC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AK=7, AN=3. Рисунок к задаче 8

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 2

(4 баллов) На сторонах AB и AD прямоугольника ABCD отмечены точки M и N соответственно. Известно, что AN=7, NC=39, AM=12, MB=3. (а) (1 балл) Найдите площадь прямоугольника ABCD. (б) (3 балла) Найдите площадь треугольника MNC. Рисунок к задаче 9.2

Средняя

Планиметрия