ВсОШ 2022, 10 класс, задача 6
( баллов) Дана трапеция . Отрезки и — её боковые стороны — равны и соответственно. На стороне отмечены точки и так, что , , . Известно, что расстояния от точек и до прямой равны и соответственно.
(а) ( балл) Найдите площадь треугольника .
(б) ( балла) Найдите площадь трапеции .
Ответ
Ответ:
(а) ( балл) .
(б) ( балла) .
Решение. Докажем, что расстояния от точек и до прямой равны и соответственно. Пусть , , , — проекции точек , , , на прямую соответственно (рис. ). Проведём через прямую, параллельную , пусть она пересекает прямые , , в точках , , соответственно. У подобных прямоугольных треугольников , , гипотенузы относятся как , поэтому . Учитывая, что , получаем, что и . Тогда и .
Тогда и .
У трапеции площади треугольников и равны, поскольку сторона у них общая, а также равны высоты, опущенные на неё из точек и . Следовательно, .
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).