ВсОШ 2022, 9 класс, задача 6

Средняя

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2022, 9 класс

( баллов) Дан треугольник , точка — середина стороны . Пусть — биссектриса внешнего угла треугольника . Прямая, проходящая через и параллельная , пересекает сторону в точке . Найдите длину отрезка , если и .

Рисунок к задаче 9.6

Ответ

Ответ: .

Решение. Проведём через точку прямую параллельно прямой (рис. ). Пусть — точка пересечения прямой и .

Заметим, что , так как оба этих угла равны половине внешнего угла , поэтому .

Рисунок к задаче 9.6

В треугольнике отрезок является средней линией, поэтому

Верное решение.

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 7

(4 баллов) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. На гипотенузе AB отметили точки X и Y, такие что CX и CY — биссектрисы углов BCH и HCA соответственно. Найдите, чему равна длина стороны AB, если известно, что периметр треугольника ABC равен 44, а длина отрезка XY равна

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 2

(4 баллов) На сторонах AB и AD прямоугольника ABCD отмечены точки M и N соответственно. Известно, что AN=7, NC=39, AM=12, MB=3. (а) (1 балл) Найдите площадь прямоугольника ABCD. (б) (3 балла) Найдите площадь треугольника MNC. Рисунок к задаче 9.2

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 2

(4 баллов) Через вершину D квадрата ABCD проведена прямая ell, и на неё опущены высоты AX, BY, CZ, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата ABCD равна 169, а длина отрезка AX равна 5. Рисунок к задаче 9.2 (а) (2 балла) Найдите длину отрезка CZ. (б) (2 балла) Найдите длину отрезка BY.

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 7

(4 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом A. Квадрат KLMN расположен, как на рисунке: точки K, L, N лежат на сторонах AB, BC, AC соответственно, а точка M расположена внутри треугольника ABC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AK=7, AN=3. Рисунок к задаче 8

Средняя

Планиметрия