ВсОШ 2025, 8 класс, задача 7

Средняя

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2025, 8 класс

( баллов) В прямоугольном треугольнике с прямым углом провели высоту . На гипотенузе отметили точки и , такие что и — биссектрисы углов и соответственно. Найдите, чему равна длина стороны , если известно, что периметр треугольника равен , а длина отрезка равна .

Ответ

Ответ: .

Прямоугольный треугольник ABC

Решение. Пусть , . Тогда , поэтому . Заметим, что внешний для треугольника , поэтому , поэтому треугольник равнобедренный и . Аналогично получаем, что треугольник равнобедренный и .

С использованием полученных равенств можем записать:

Из полученного равенства находим .

Верное решение.

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 3

(4 баллов) Точка I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. На стороне BC отметили точку X. Оказалось, что AI=BX, AC=CX, angle ABC=42^circ. Рисунок к задаче 9.3 (а) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BIX? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BCA?

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Четырёхугольник ABCD таков, что angle ABD=angle ACD=90^circ, angle CAD=42^circ. Лучи CB и DA пересекаются в точке K. Известно, что BK=3, AD=6. Рисунок к задаче 10.3 (а) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BKA? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BAC?

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 2

(4 баллов) Через вершину D квадрата ABCD проведена прямая ell, и на неё опущены высоты AX, BY, CZ, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата ABCD равна 169, а длина отрезка AX равна 5. Рисунок к задаче 9.2 (а) (2 балла) Найдите длину отрезка CZ. (б) (2 балла) Найдите длину отрезка BY.

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 3

(4 баллов) Три окружности радиусов a, b, c касаются как на рисунке, а их центры Q, R, S вместе с точкой T являются вершинами прямоугольника, причём точка T лежит на окружности с центром S. Найдите площадь прямоугольника QRST, если b=5. Три касающиеся окружности

Средняя

Планиметрия